Introducción
Hasta ahora hemos estudiado proposiciones que solo se les puede asignar un valor de verdad, ya sea falso o verdadero; esto refiriéndome a todo lo que hemos visto respecto a las tablas de verdad.
En esta etapa que iniciamos estudiaremos las proposiciones abiertas; Iniciemos definiendo las proposiciones abiertas.
Proposiciones abiertas:
Una proposición abierta es una expresión que contiene una variable "x" y que se convierte en una proposición cerrada cuando "x" se sustituye por un valor determinado.
Ejemplo:
La proposición se puede enunciar de las siguientes formas:
1. Existe x = 1 tal que x + 1 = 2. Proposición verdadera
2. Para todo x ≠ 1, se tiene que x + 1 = 2. Proposición falsa
Veamos la representación simbólica de estas dos expresiones es la siguiente:
1. (Ǝx = 1) / (x +1 = 2) Verdadera
2. (∀x ≠ 1) / (x + 1 = 2) Falsa
Simbólicamente, en el primer caso el cuantificador recibe el nombre de cuantificador existencial, pues está informando que existe un sólo valor para "x" que hace verdadera la proposición dada.
Lección No. 11 Cuantificadores
Cuantificadores
Los cuantificadores son símbolos utilizados para indicar cuántos o qué tipo de elementos de un conjunto dado cumplen con cierta propiedad. Existen muchos tipos de cuantificadores, entre los más utilizados están:
Cuantificador universal (∀ )
Cualquier cuantificador de la forma para todo, todo, para cada, o cada, se llama cuantificador universal y se simboliza por “∀”.
Ejemplo:
(∀x =1) / ( x + 4 = 4 + x ) significa que todo "x" verifica la ecuación
Nota: esta expresión se lee de la siguiente manera “ para todo x =1 se verifica
que x + 4 = 4 + x".
Cuantificador existencial (Ǝ )
Los cuantificadores de la forma existe por lo menos uno, se llaman cuantificadores existenciales y se representan así: “Ǝ”.
Ejemplo:
(Ǝx = 1) / ( 2x + 3 = 5 ) significa que para x = 1 verifica la ecuación
Nota: esta expresión se lee de la siguiente manera “existe por lo menos uno x =1 se verifica que 2x + 3 = 5".
Lección No. 12 Proposiciones categóricas
Proposiciones categóricas
Una Proposiciones categóricas es un enunciado que consta de dos Proposiciones las cuales actúan una como sujeto y otra como predicado.
Ejemplos:
- Ningún soltero es casado
- Algunos mazdas no Son fabricados en Japón
Estos tipos de enunciados (sujeto-predicado) son los que encontramos en una forma de lógica, conocida como aristotélica, tradicional, o de silogismos categóricos.
Existen cuatro clases de proposiciones categóricas. Usando “S” y “P” como símbolos, estas son:
Proposición categórica
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Representación
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Universal afirmativa
|
Todos S son P
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Universal negativa
|
Ningún S es P
|
Particular afirmativa
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Algunos S son P
|
Particular negativa
|
Algunos S no son P
|
Ejemplos:
- Todos los poetas son filósofos
- Ningún poeta es filósofo
- Algunos poetas son filósofos
- Algunos poetas no son filósofos
Lección No. 13 Representación de las proposiciones categóricas
Representación de las proposiciones categóricas
Presentación de los cuatro tipos de proposiciones categóricas
Caso 1: Todo S es P.
La parte del círculo S que esta fuera de P representa todos los S que no son P
Todo S es P
Escritura en Forma Lógica: (∀x )(Sx→Px)
Caso 2: Ningún S es P o ningún P es S.
La parte común de los dos círculos representa la intersección o producto de las dos clases SP
Ningún S es P
Ningún P es S
Escritura en Forma Lógica: (∀x )(Sx→¬Px)
Caso 3: Algún S es P o algún P es S
Algún S es P
Algún P es S
Escritura en Forma Lógica: (Ǝx)(Sx ᴧ Px)
Caso 4: Algún S no es P
Algún S no es P
Escritura en Forma Lógica: (Ǝx)(Sx ᴧ ¬Px)
Algún P no es S
Escritura en Forma Lógica: (Ǝx)(Px ᴧ ¬Sx)
Lección No. 14 Clasificación de las proposiciones categóricas
A continuación profundizamos en la representación de las cuatro formas estándar de proposiciones categóricas:
Proposición Categórica Universal Afirmativa
"Todos los conductores de automóviles que no son seguros son personas temerarias que ponen en peligro la vida de los demás"
Analicemos el ejemplo:
Si examinamos detenidamente la proposición categórica anterior, nos podemos dar cuenta de que este se compone de 2 proposiciones:
1. Los conductores de automóviles inseguros
2. Personas temerarias que ponen en peligro la vida de los demás
Vemos entonces que existe una predicado y un sujeto
P: Los conductores de automóviles inseguros
S: Personas temerarias que ponen en peligro la vida de los demás
Proposición Categórica Universal negativa
“Todos los conductores de automóviles son responsables y no son personas temerarias que arriesgan la vida de los demás.”
Analicemos el ejemplo:
En este nuevo caso nos damos cuenta otra ves que la proposición categórica anterior la compone de 2 proposiciones:
1. conductores responsables
2. Personas temerarias
Vemos entonces que existe una predicado y un sujeto
S: conductores responsables
P: Personas temerarias
Proposición categórica afirmativa particular
“Algunos estudiantes van del colegio a la universidad.”
Analicemos el ejemplo:
Este nuevamente se compone de 2 proposiciones:
1. Estudiantes de colegio
2. Estudiantes de universidad
Vemos entonces que existe una predicado y un sujeto
S: Estudiantes de colegio
P: Estudiantes de universidad
Proposiciones categóricas Negativa Particular
“algún número real no es positivo.”
Analicemos el ejemplo:
Este nuevamente se compone de 2 proposiciones:
1. Número real
2. Numero negativo
Vemos entonces que existe una predicado y un sujeto
S: Numero negativo
P: Número real
Proposiciones contradictorias
Dos proposiciones son CONTRADICTORIAS si una de ellas es la negación de la otra.
Ejemplo 1
Dadas las proposiciones
P: todos los jueces son abogados
Q: algunos jueces no son abogados
Ejemplo 2
Dadas las proposiciones
P: hoy es lunes
Q: hoy no es lunes.
Proposiciones contrarias
Se dice que dos proposiciones son CONTRARIAS si no pueden ser ambas verdaderas, aunque ambas puedan ser falsas.
Ejemplo 1
Considerando las proposiciones
P: Paola es mayor que Angélica
Q: Angélica es mayor que Paola
Ejemplo 2
Dadas las proposiciones:
P: todos los números enteros son positivos
Q: algunos enteros son positivos
R: todos los enteros son negativos
Proposiciones Subcontrarias
Se dice que dos proposiciones son subcontrarias si no pueden ser ambas falsas pero sí ambas verdaderas
Ejemplo 1
Las proposiciones
P: algunos enteros son positivos
Q: algunos enteros son negativos
Ejemplo 2
P: algunos ingenieros de sistemas son matemáticos
Q: algunos ingenieros de sistemas no son matemáticos
Proposición Contingente
Una proposición que no es necesariamente verdadera ni necesariamente falsa se llama CONTINGENTE.
Ejemplo 1
P: todos los matemáticos son filósofos
Ejemplo 2
Q: todos los cuadrados son rectángulos
Analicemos el ejemplo:
Si examinamos detenidamente la proposición categórica anterior, nos podemos dar cuenta de que este se compone de 2 proposiciones:
1. Los conductores de automóviles inseguros
2. Personas temerarias que ponen en peligro la vida de los demás
Vemos entonces que existe una predicado y un sujeto
P: Los conductores de automóviles inseguros
S: Personas temerarias que ponen en peligro la vida de los demás
Todo S es P
“Todos los conductores de automóviles son responsables y no son personas temerarias que arriesgan la vida de los demás.”
Analicemos el ejemplo:
En este nuevo caso nos damos cuenta otra ves que la proposición categórica anterior la compone de 2 proposiciones:
1. conductores responsables
2. Personas temerarias
Vemos entonces que existe una predicado y un sujeto
S: conductores responsables
P: Personas temerarias
De esta manera concluimos que:
Ningún S es P
Proposición categórica afirmativa particular
“Algunos estudiantes van del colegio a la universidad.”
Analicemos el ejemplo:
Este nuevamente se compone de 2 proposiciones:
1. Estudiantes de colegio
2. Estudiantes de universidad
Vemos entonces que existe una predicado y un sujeto
S: Estudiantes de colegio
P: Estudiantes de universidad
Así concluimos que:
Algún S es P
Proposiciones categóricas Negativa Particular
“algún número real no es positivo.”
Analicemos el ejemplo:
Este nuevamente se compone de 2 proposiciones:
1. Número real
2. Numero negativo
Vemos entonces que existe una predicado y un sujeto
S: Numero negativo
P: Número real
Así concluimos que:
Algún S no es P
» " PARA CONCLUIR "«
Sobre las proposiciones categóricas universales y particulares
Cada una de ellas cuenta con una cualidad y una cantidad
Entendiéndose por cualidad su condición [positivas o negativas] 0 [afirmación o negación]
Entendiéndose por cantidad su condición [universal o particular] 0 [todos o algunos]
Lección No. 15 Proposiciones contradictorias, contrarias, de contingencia y subcontrarias.
Proposiciones contradictorias
Dos proposiciones son CONTRADICTORIAS si una de ellas es la negación de la otra.
Ejemplo 1
Dadas las proposiciones
P: todos los jueces son abogados
Q: algunos jueces no son abogados
Ejemplo 2
Dadas las proposiciones
P: hoy es lunes
Q: hoy no es lunes.
Proposiciones contrarias
Se dice que dos proposiciones son CONTRARIAS si no pueden ser ambas verdaderas, aunque ambas puedan ser falsas.
Ejemplo 1
Considerando las proposiciones
P: Paola es mayor que Angélica
Q: Angélica es mayor que Paola
Ejemplo 2
Dadas las proposiciones:
P: todos los números enteros son positivos
Q: algunos enteros son positivos
R: todos los enteros son negativos
Proposiciones Subcontrarias
Se dice que dos proposiciones son subcontrarias si no pueden ser ambas falsas pero sí ambas verdaderas
Ejemplo 1
Las proposiciones
P: algunos enteros son positivos
Q: algunos enteros son negativos
Ejemplo 2
P: algunos ingenieros de sistemas son matemáticos
Q: algunos ingenieros de sistemas no son matemáticos
Proposición Contingente
Una proposición que no es necesariamente verdadera ni necesariamente falsa se llama CONTINGENTE.
Ejemplo 1
P: todos los matemáticos son filósofos
Ejemplo 2
Q: todos los cuadrados son rectángulos
para concluir miremos el siguiente vídeo:
TALLER
El trabajo a realizar lo podrán descarga
en el link a continuación:
fecha para entregar el día 9 de
noviembre 2013
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gracias me sirvio de mucho
ResponderEliminarMucha gracias, me fue de gran ayuda.
ResponderEliminarMuchas gracias,es la información que necesitaba
ResponderEliminarExcelente, aprendí mucho!
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