Cuantificadores y Proposiciones Categóricas




Introducción


Hasta ahora hemos estudiado proposiciones que solo se les puede asignar un valor de verdad, ya sea falso o verdadero; esto refiriéndome a todo lo que hemos visto respecto a las tablas de verdad.

En esta etapa que iniciamos estudiaremos las proposiciones abiertas; Iniciemos definiendo las proposiciones abiertas.




Proposiciones abiertas:
Una proposición abierta es una expresión que contiene una variable "x" y que se convierte en una proposición cerrada cuando "x" se sustituye por un valor determinado.

Ejemplo:

La proposición se puede enunciar de las siguientes formas:

1. Existe x = 1 tal que x + 1 = 2. Proposición verdadera

2. Para todo  1, se tiene que x + 1 = 2. Proposición falsa



Veamos la representación simbólica de estas dos expresiones es la siguiente:

1. (Ǝx = 1) / (x +1 = 2) Verdadera

2. (≠ 1) / (x + 1 = 2) Falsa


Simbólicamente, en el primer caso el cuantificador recibe el nombre de cuantificador existencial, pues está informando que existe un sólo valor para "x" que hace verdadera la proposición dada.

Mientras que en el segundo caso el cuantificador se llama cuantificador universal porque afirma que todos los valores de "x" diferentes de 1 hacen la proposición falsa, es decir, que un valor de "x" diferente de 1 convierte x + 1 = 2 en proposición falsa.

Lección No. 11 Cuantificadores


Cuantificadores
Los cuantificadores son símbolos utilizados para indicar cuántos o qué tipo de elementos de un conjunto dado cumplen con cierta propiedad. Existen muchos tipos de cuantificadores, entre los más utilizados están:


Cuantificador universal (∀ )
Cualquier cuantificador de la forma para todo, todo, para cada, o cada, se llama cuantificador universal y se simboliza por “”.

Ejemplo:

(∀x =1) / ( x + 4 = 4 + x ) significa que todo "x" verifica la ecuación

Nota: esta expresión se lee de la siguiente manera “ para todo x =1 se verifica
que x + 4 = 4 + x".



Cuantificador existencial (Ǝ )
Los cuantificadores de la forma existe por lo menos uno, se llaman cuantificadores existenciales y se representan así: “Ǝ”.

Ejemplo:

(Ǝx = 1) / ( 2x + 3 = 5 ) significa que para x = 1 verifica la ecuación

Nota: esta expresión se lee de la siguiente manera “existe por lo menos uno x =1 se verifica que 2x + 3 = 5".




Lección No. 12 Proposiciones categóricas


Proposiciones categóricas
Una Proposiciones categóricas es un enunciado que consta de dos Proposiciones las cuales actúan una como sujeto y otra como predicado.

Ejemplos:


  • Ningún soltero es casado
  • Algunos mazdas no Son fabricados en Japón


Estos tipos de enunciados (sujeto-predicado) son los que encontramos en una forma de lógica, conocida como aristotélica, tradicional, o de silogismos categóricos.

Existen cuatro clases de proposiciones categóricas. Usando “S” y “P” como símbolos, estas son:


Proposición categórica
Representación
Universal afirmativa
Todos S son P
Universal negativa
Ningún S es P
Particular afirmativa
Algunos S son P
Particular negativa
Algunos S no son P



Ejemplos:
  • Todos los poetas son filósofos
  • Ningún poeta es filósofo
  • Algunos poetas son filósofos
  • Algunos poetas no son filósofos


Lección No. 13 Representación de las proposiciones categóricas

Representación de las proposiciones categóricas
Presentación de los cuatro tipos de proposiciones categóricas

Caso 1: Todo S es P.



La parte del círculo S que esta fuera de P representa todos los S que no son P
Todo S es P
Escritura en Forma Lógica: (∀x )(Sx→Px)



Caso 2: Ningún S es P o ningún P es S.

La parte común de los dos círculos representa la intersección o producto de las dos clases SP
Ningún S es P
Ningún P es S
Escritura en Forma Lógica: (∀x )(Sx→¬Px)


Caso 3: Algún S es P o algún P es S

Algún S es P
Algún P es S
Escritura en Forma Lógica: (Ǝx)(Sx ᴧ Px)


Caso 4: Algún S no es P

Algún S no es P
Escritura en Forma Lógica: (Ǝx)(Sx ᴧ ¬Px)



Algún P no es S
Escritura en Forma Lógica: (Ǝx)(Px ᴧ ¬Sx)




Lección No. 14 Clasificación de las proposiciones categóricas

A continuación profundizamos en la representación de las cuatro formas estándar de proposiciones categóricas:


Proposición Categórica Universal Afirmativa


"Todos los conductores de automóviles que no son seguros son personas temerarias que ponen en peligro la vida de los demás"

Analicemos el ejemplo:

Si examinamos detenidamente la proposición categórica anterior, nos podemos dar cuenta de que este se compone de 2 proposiciones:

1. Los conductores de automóviles inseguros

2. Personas temerarias que ponen en peligro la vida de los demás


Vemos entonces que existe una predicado y un sujeto


P: Los conductores de automóviles inseguros


S: Personas temerarias que ponen en peligro la vida de los demás

De esta manera concluimos que:
Todo S es P





Proposición Categórica Universal negativa

“Todos los conductores de automóviles son responsables y no son personas temerarias que arriesgan la vida de los demás.”


Analicemos el ejemplo:

En este nuevo caso nos damos cuenta otra ves  que la proposición categórica anterior  la compone de 2 proposiciones:

1. conductores responsables


2. Personas temerarias


Vemos entonces que existe una predicado y un sujeto


S: conductores responsables

P: Personas temerarias

De esta manera concluimos que:
Ningún S es P





Proposición categórica afirmativa particular

“Algunos estudiantes van del colegio a la universidad.”



Analicemos el ejemplo:


Este nuevamente se compone de 2 proposiciones:


1. Estudiantes de colegio


2. Estudiantes de universidad



Vemos entonces que existe una predicado y un sujeto



S: Estudiantes de colegio

P: Estudiantes de universidad

Así concluimos que:
Algún S es P





Proposiciones categóricas Negativa Particular

“algún número real no es positivo.”


Analicemos el ejemplo:

Este nuevamente se compone de 2 proposiciones:

1. Número real

2. Numero negativo



Vemos entonces que existe una predicado y un sujeto



S: Numero negativo

P: Número real

Así concluimos que:
Algún S no es P






» "  PARA CONCLUIR  "«


Sobre las proposiciones categóricas universales y particulares


Cada una de ellas cuenta con una cualidad y una cantidad


Entendiéndose por cualidad su condición [positivas o negativas] 0 [afirmación o negación]


Entendiéndose por cantidad su condición [universal o particular] 0 [todos o algunos]













Lección No. 15 Proposiciones contradictorias, contrarias, de contingencia y subcontrarias.


Proposiciones contradictorias
Dos proposiciones son CONTRADICTORIAS si una de ellas es la negación de la otra.

Ejemplo 1

Dadas las proposiciones

P: todos los jueces son abogados
Q: algunos jueces no son abogados


Ejemplo 2


Dadas las proposiciones

P: hoy es lunes
Q: hoy no es lunes.





Proposiciones contrarias
Se dice que dos proposiciones son CONTRARIAS si no pueden ser ambas verdaderas, aunque ambas puedan ser falsas.


Ejemplo 1


Considerando las proposiciones


P: Paola es mayor que Angélica
Q: Angélica es mayor que Paola


Ejemplo 2


Dadas las proposiciones:


P: todos los números enteros son positivos
Q: algunos enteros son positivos
R: todos los enteros son negativos




Proposiciones Subcontrarias
Se dice que dos proposiciones son subcontrarias si no pueden ser ambas falsas pero sí ambas verdaderas


Ejemplo 1


Las proposiciones


P: algunos enteros son positivos
Q: algunos enteros son negativos



Ejemplo 2


P: algunos ingenieros de sistemas son matemáticos
Q: algunos ingenieros de sistemas no son matemáticos





Proposición Contingente
Una proposición que no es necesariamente verdadera ni necesariamente falsa se llama CONTINGENTE.


Ejemplo 1

P: todos los matemáticos son filósofos



Ejemplo 2

Q: todos los cuadrados son rectángulos





para concluir miremos el siguiente vídeo:








TALLER

El trabajo a realizar lo podrán descarga en el link a continuación:


fecha para entregar el día 9 de noviembre 2013








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